Действия с числовыми дробями. Математика: действия с дробями. Действия с десятичными и обыкновенными дробями. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную
С дробями ученики знакомятся еще в 5 классе. Раньше людей, которые умели производить действия с дробями, считали очень умными. Первой дробью была 1/2, то есть половина, дальше появились 1/3 и т.д. Несколько веков примеры считались слишком сложными. Сейчас же разработаны подробные правила по преобразованию дробей, сложению, умножению и другим действиям. Достаточно немного разобраться в материале, и решение будет даваться легко.
Обыкновенная дробь, которую называют простой дробью, записывается как деление двух чисел: m и n.
M - это делимое, то есть числитель дроби, а делитель n называют знаменателем.
Выделяют правильные дроби (m < n) а также неправильные (m > n).
Правильная дробь меньше единицы (к примеру 5/6 — это значит, что от единицы взято 5 частей; 2/8 — от единицы взято 2 части). Неправильная дробь равна или больше 1 (8/7 — единицей будет 7/7 и плюсом взята еще одна часть).
Так, единица, это когда числитель и знаменатель совпали (3/3, 12/12, 100/100 и другие).
Действия с обыкновенными дробями 6 класс
С простыми дробями можно производить следующие действия:
- Расширять дробь. Если умножить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число (только не на ноль), то значение дроби не поменяется (3/5 = 6/10 (просто умножили на 2).
- Сокращение дробей — схоже расширению, но тут делят на какое-либо число.
- Сравнивать. Если у двух дробей числители одинаковыми, то большей окажется дробь с меньшим знаменателем. Если одинаковые знаменатели, то больше будет дробь с наибольшим числителем.
- Выполнять сложение и вычитание. При одинаковых знаменателях это сделать просто (суммируем верхние части, а нижняя не меняется). При разных придется найти общий знаменатель и дополнительные множители.
- Умножить и разделить дроби.
Примеры действий с дробями рассмотрим ниже.
Сокращенные дроби 6 класс
Сократить — значит поделить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число.
На рисунке представлены просты примеры сокращения. В первом варианте можно сразу догадаться, что числитель и знаменатель делятся на 2.
На заметку! Если число четное, то оно по-любому делится на 2. Четные числа — это 2, 4, 6…328 (заканчивается на четное) и т. д.
Во втором случае при делении 6 на 18 сразу видно, что числа делятся на 2. Разделив, получаем 3/9. Эта дробь делится еще на 3. Тогда в ответе получается 1/3. Если перемножить оба делителя: 2 на 3, то выйдет 6. Получается, что дробь была разделена на шестерку. Такое постепенное деление называется последовательным сокращением дроби на общие делители.
Кто-то сразу поделит на 6, кому-то понадобится деление частями. Главное, чтобы в конце осталась дробь, которую уже никак не сократить.
Отметим, что если число состоит из цифр, при сложении которых получится число, делящееся на 3, то и первоначальное также можно сократить на 3. Пример: число 341. Складываем цифры: 3 + 4 + 1 = 8 (8 на 3 не делится, значит, число 341 нельзя сократить на 3 без остатка). Другой пример: 264. Складываем: 2 + 6 + 4 = 12 (делится на 3). Получаем: 264: 3 = 88. Это упростит сокращение больших чисел.
Помимо метода последовательного сокращения дроби на общие делители есть и другие способы.
НОД — это самый большой делитель для числа. Найдя НОД для знаменателя и числителя, можно сразу сократить дробь на нужное число. Поиск осуществляется путем постепенного деления каждого числа. Далее смотрят, какие делители совпадают, если их несколько (как на картинке ниже), то нужно перемножить.
Смешанные дроби 6 класс
Все неправильные дроби можно превратить в смешанные, выделив в них целую часть. Целое число пишется слева.
Часто приходится из неправильной дроби делать смешанное число. Процесс преобразования на примере ниже: 22/4 = 22 делим на 4, получаем 5 целых (5 * 4 = 20). 22 — 20 = 2. Получаем 5 целых и 2/4 (знаменатель не меняется). Поскольку дробь можно сократить, то делим верхнюю и нижнюю часть на 2.
Смешанное число легко превратить в неправильную дробь (это необходимо при делении и умножении дробей). Для этого: целое число умножим на нижнюю часть дроби и прибавим к этому числитель. Готово. Знаменатель не меняется.
Вычисления с дробями 6 класс
Смешанные числа можно складывать. Если знаменатели одинаковые, то сделать это просто: складываем целые части и числители, знаменатель остается на месте.
При сложении чисел с разными знаменателями процесс сложнее. Сначала приводим числа к одному самому маленькому знаменателю (НОЗ).
В примере ниже для чисел 9 и 6 знаменателем будет 18. После этого нужны дополнительные множители. Чтобы их найти, следует 18 разделить на 9, так находится дополнительное число — 2. Его умножаем на числитель 4 получилась дробь 8/18). То же самое делают и со второй дробью. Преобразованные дроби уже складываем (целые числа и числители отдельно, знаменатель не меняем). В примере ответ пришлось преобразовать в правильную дробь (изначально числитель оказался больше знаменателя).
Обратите внимание, что при разности дробей алгоритм действий такой же.
При умножении дробей важно поместить обе под одну черту. Если число смешанное, то превращаем его в простую дробь. Далее умножаем верхнюю и нижнюю части и записываем ответ. Если видно, что дроби можно сократить, то сокращаем сразу.
В указанном примере сокращать ничего не пришлось, просто записали ответ и выделили целую часть.
В этом примере пришлось сократить числа под одной чертой. Хотя сокращать можно и готовый ответ.
При делении алгоритм почти такой же. Сначала превращаем смешанную дробь в неправильную, затем записываем числа под одной чертой, заменив деление умножением. Не забываем верхнюю и нижнюю часть второй дроби поменять местами (это правило деления дробей).
При необходимости сокращаем числа (в примере ниже сократили на пятерку и двойку). Неправильную дробь преобразуем, выделив целую часть.
Основные задачи на дроби 6 класс
На видео показано еще несколько задач. Для наглядности использованы графические изображения решений, которые помогут наглядно представить дроби.
Примеры умножения дроби 6 класс с пояснениями
Перемножающиеся дроби записываются под одной линией. После этого их сокращают путем деления на одни и те же числа (например, 15 в знаменателе и 5 в числителе можно разделить на пятерку).
Сравнение дробей 6 класс
Чтобы сравнить дроби, нужно запомнить два простых правила.
Правило 1. Если знаменатели разные
Правило 2. Когда знаменатели одинаковые
Например, сравним дроби 7/12 и 2/3.
- Смотрим на знаменатели, они не совпадают. Значит нужно найти общий.
- Для дробей общим знаменателем будет 12.
- Делим 12 сначала на нижнюю часть первой дроби: 12: 12 = 1 (это доп. множитель для 1-й дроби).
- Теперь 12 делим на 3, получаем 4 — доп. множитель 2-й дроби.
- Умножаем полученные цифры на числители, чтобы преобразовать дроби: 1 х 7 = 7 (первая дробь: 7/12); 4 х 2 = 8 (вторая дробь: 8/12).
- Теперь можем сравнивать: 7/12 и 8/12. Получилось: 7/12 < 8/12.
Чтобы представлять дроби лучше, можно для наглядности использовать рисунки, где предмет делится на части (к примеру, торт). Если требуется сравнить 4/7 и 2/3, то в первом случае торт делят на 7 частей и выбирают 4 из них. Во втором — делят на 3 части и берут 2. Невооруженным взглядом будет понятно, что 2/3 будет больше 4/7.
Примеры с дробями 6 класс для тренировки
В качестве тренировки можно выполнить следующие задания.
- Сравнить дроби
- выполнить умножение
Совет: если сложно найти наименьший общий знаменатель у дробей (особенно, если значения их небольшие), то можно перемножить знаменатель первой и второй дроби. Пример: 2/8 и 5/9. Найти их знаменатель просто: 8 умножаем на 9, получится 72.
Решение уравнений с дробями 6 класс
В решении уравнений требуется вспомнить действия с дробями: умножение, деление, вычитание и сложение. Если неизвестен один из множителей, то произведение (итог) делится на известный множитель, то есть дроби перемножаются (вторая переворачивается).
Если неизвестно делимое, то знаменатель умножается на делитель, а для поиска делителя нужно делимое разделить на частное.
Представим простые примеры решения уравнений:
Здесь требуется лишь произвести разность дробей, не приводя к общему знаменателю.
Ответ получился в виде неправильной дроби. Ее можно преобразовать в 1 целую и 3/5.
Во втором способе числитель и знаменатель умножили на 4, чтобы сократить нижнюю часть, а не переворачивать знаменатель.
Действия с дробями.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.
Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.
Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.
Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.
А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.
Сложение и вычитание дробей.
Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:
Короче, в общем виде:
А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:
Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.
Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .
Ещё пример:
Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:
Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:
Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!
Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:
И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.
Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...
Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.
Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.
А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...
Итак, нам надо сложить два дробных выражения:
Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:
И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:
Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...
В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:
Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!
И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.
Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)
Вычислить:
Ответы (в беспорядке):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Возьмём отрезок a . Чтобы найти его длину, выберем в качестве единицы длины отрезок е. (рис. 1) При
измерении оказалось, что длина отрезка е
а больше 3 е , но меньше 4 е . Поэтому её е1
нельзя выразить натуральным числом рис 1
(при единице длины е ). Но если разбить отрезок е на 4 равные части, каждая из которых равна е 1 , то длина отрезка а окажется равной 14е1 . Если же вернуться к первоначальной единице длины е , то мы должны сказать, что отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвёртой части отрезка е , т.е., говоря о длине отрезка а , мы вынуждены оперировать двумя натуральными числами 14 и 4 . Условились в такой ситуации длину отрезка записывать в виде 14/4 е , а символ называть дробью.
В общем виде понятие дроби определяют так: пусть даны отрезок а и единичный отрезок е , причём отрезок е является суммой n отрезков, равных е 1 . Если отрезок а состоит из m отрезков, равных е 1 , то его длина может быть представлена в виде е . Символ называют дробью, в нём m и n - натуральные числа. Читают этот символ «эм энных».
Вернёмся к рис.1 . Выбранный отрезок е 1 есть четвёртая часть отрезка е . Очевидно, что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е , которая укладывается целое число раз в отрезке а . Можно взять восьмую часть отрезка е , тогда отрезок а будет состоять из 28 28/8 е . Можно взять шестнадцатую часть отрезка е , тогда отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет равна е . Если представить себе этот процесс продолженным неограниченно, получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей: 14/4, 28/8 , 56/16 ,…
Вообще, если при единице длины е длина отрезка а выражается дробью, то она может быть выражена любой дробью, где k- натуральное число.
Определение. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е , называют равными дробями.
Если дроби и равны, то пишут: = . Например, дроби 14/4 и 28/8 выражают длину одного и того же отрезка при единице длины е , следовательно, 14/4 = 28/8 .
Существует признак, пользуясь которым определяют, равны ли данные дроби:
Для того, чтобы дроби m / n и p / q были равны, необходимо и достаточно, чтобы mq = np.
1. Покажем, что m / n = p / q => mq = np . Так как m / n = p / q для любого натурального q , а p / q = pn / qn для любого натурального n , то, из равенства дробей m / n и p / q следует равенство mq / nq = pn / qn , из которого в свою очередь вытекает, что mq = np .
2. Покажем, что mp = pq => m / n = p / q . Если разделить обе части истинного равенства mq = np на натуральное число nq , то получим истинное равенство mq / nq = np / nq . Но mq / nq = m / n , а np / nq = p / q , => m / n = p / q .
Пример.Определим, равны ли дроби 17/19 и 23/27 . Для этого сравним произведения 17*27 и 19*23 ; 17*27=459 , 19*23=437 . Так как 459 ¹ 437 , то 17/19 ¹ 23/27.
Из рассмотренных ниже фактов вытекает основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и тоже натуральное число, то получится дробь, равная данной.
На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.
Сокращение дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой . Например, 3/19 - несократимая дробь.
Пример. Сократим дробь 48/80 . Чтобы получить равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель данной дроби разделить на их наибольший общий делитель. Найдем его: Д (48;80 ) = 16 . Разделив 48 на 16 и 80 на 16 , получаем, что 48/80 = 3/5. Дробь 3/5 - несократимая.
Приведение дробей к общему знаменателю- это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.
Общим знаменателем двух дробей m / n и p / q является общее кратное чисел n и q , а наименьшим общим знаменателем- их наименьшее общее кратное К (n , q ).
Пример. Приведём к НОЗ дроби 8/15 и 4/35. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 =3*5 , 35 =5*7 . Тогда К (15,35 )=3*5*7 =105 . Поскольку 105=15*7=35*3 , то = 8/15 = 8*7/15*7 = 56/105, 4/35 = 4*3/35*3 = 12/105 .
Сложение и вычитание
Пусть отрезки a , b , c таковы, что c = a + b и при выбранной единице длины e a = е, b= e (рис.2). тогда c = a + b = e + e = 6 e 1 = 7 e 1 = (6+7)*е 1 = 13е 1 = е 1 , т.е. длина отрезка е выражается числом, которое целесообразно рассматривать, как сумму чисел 6/4 и 7/4 .
Определение: Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/n , то суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью m+p/n .
m/n + p/n = m+p/n (1)
Если положительные рациональные числа представлены дробями с разными знаменателями, то эти дроби приводят к НОЗ , а потом складывают по правилу (1 ). Например: 5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20 .
Сумма любых двух положительных чисел существует и единственна. Сложение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:
a+b=b+a для любых a,b, Î Q+
(a+b)+c = a+(b+c) для любых a,b,c Î Q+
Различают правильные и неправильные дроби. Дробь называют правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.
Пусть m / n - неправильная дробь. Тогда m ³ n . Если m кратно n ,то в этом случае дробь m / n является записью натурального числа. Например, если дана дробь 15/3 , то 15/3 =5 . Если число m не кратно n , то разделим m на n с остатком: m = nq + r , где r < n . Поставим nq + r вместо m в дробь m / n и применим правило (1): m / n = nq + r / n = nq / n + r / n = q + r / n .
Поскольку r < n , то дробь r / n правильная => дробь m / n оказалась представлена в виде суммы натурального числа q и правильной дроби r / n . Это действие называют выделением целой части из неправильной дроби. Например, 13/4=4*3+1/4=4*3/4+1/4=3+1/4. Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т.е вместо 3+1/4 пишут 3 1/4 и называют такую запись смешанным числом.
Рассмотрим вычитание положительных рациональных чисел.
Определениe Разностью положительных рациональных чисел a и b называется такое положительное рациональное число c, что a=b+c
Понятие разности определено, а как практически из одного положительного рационального числа вычесть другое?
Пусть a = m / n , b = p / n , а разность а- b пусть представляется дробью x / n . Найти x . По определению разности m / n = p / n + x / n , а по правилу (1) p / n + x / n = p + x / n . Таким образом, m = p + x , но m , p и x _числа натуральные, а для них эта запись означает, что x = m — p .
Приходим к следующему правилу:
M/n-p/n=m-p/n (2)
Умножение и деление
На рис.3 приведены такие отрезки: a, e, и e1, что a=11/3 e; e=6/5 e1. Надо узнать, каким будет значение длины данного отрезка а при единице длины е1. Так как 3 a =11 e, а 5е=6е1 , то, умножив первое равенство на 5, а второе на 11 , получим 5*3а=11*5е и 11*5е=6*11е1, или 15а=66е1. Последнее равенство означает, что а=66/15е1 , т.е. длина отрезка а при единице длины е1 выражается числом 66/15 , которое целесообразно рассматривать как произведение 11/3 и 6/5.
Определение Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/q, то их произведение есть число, представленное дробью mp/nq
m/n*p/q=mp/nq (3)
Определение Частное двух положительных рациональных чисел a и b называется такое число с, что a=b*c. Частное двух положительных рациональных чисел находят по формуле:
m/n:p/q=mq/np (4)
Заметим, что знак черты в записи дроби m/ n можно рассматривать как знак действия деления. Действительно, возьмем два натуральных числа m и n , и найдем их частное по правилу (4):
m:n=m/1:n/1=m*1/n*1=m/n
Обратно, если дана дробь m / n , то m / n = m *1/ n *1 . Так как m / n = m : n , то любое положительное рациональное число можно рассматривать как частное двух натуральных чисел. Кстати, термин «рациональное число» произошел от латинского слова ratio , что в переводе на русский язык означает «отношение» (частное).
Дроби бывают обыкновенные и десятичные. Когда школьник узнает о существовании последних, он начинает при каждом удобном случае переводить все, что возможно, в десятичный вид, даже если этого не требуется.
Как ни странно, у старшеклассников и студентов предпочтения меняются, потому что проще выполнять многие арифметические действия с обыкновенными дробями. Да и значения, с которыми имеют дело выпускники, преобразовать в десятичный вид без потерь порой бывает попросту невозможно. В результате оба вида дробей оказываются, так или иначе, приспособлены к делу и обладают своими преимуществами и недостатками. Посмотрим, как с ними работать.
Определение
Дроби - это те же доли. Если в апельсине десять долек, а вам дали одну, то у вас в руке 1/10 часть фрукта. При такой записи, как в предыдущем предложении, дробь будет называться обыкновенной. Если написать то же самое как 0,1 - десятичной. Оба варианта являются равноправными, однако имеют свои преимущества. Первый вариант удобнее при умножении и делении, второй - при сложении, вычитании и в ряде других случаев.
Как перевести дробь в другой вид
Предположим, у вас есть обыкновенная дробь, и вы хотите сделать из неё десятичную. Что для этого нужно сделать?
К слову сказать, нужно заранее определиться, что не любое число можно без проблем записать в десятичном виде. Иногда приходится результат округлять, теряя некоторое количество знаков после запятой, а во многих областях - например, в точных науках - это совершено непозволительная роскошь. В то же время действия с десятичными и обыкновенными дробями в 5 классе позволяют осуществлять такой перевод из одного вида в другой без помех, хотя бы в качестве тренировки.
Если из знаменателя путём умножения или деления на целое число можно получить значение, кратное 10, перевод пройдёт без каких-либо трудностей: ¾ превращается в 0,75, 13/20 - в 0,65.
Обратная процедура выполняется ещё проще, поскольку из десятичной дроби можно всегда получить обыкновенную без потерь в точности. Например, 0,2 становится 1/5, а 0,08 - 4/25.
Внутренние преобразования
Прежде чем осуществлять совместные действия с обыкновенными дробями, нужно подготовить числа к возможным математическим операциям.
Перво-наперво нужно привести все имеющиеся в примере дроби к одному общему виду. Они должны быть либо обыкновенными, либо десятичными. Сразу оговоримся, что умножение и деление удобнее выполнять с первыми.
В подготовке чисел к дальнейшим действиям вам поможет правило, известное как и используемое как в первые годы изучения предмета, так и в высшей математике, которую изучают в университетах.
Свойства дробей
Предположим, у вас есть некоторое значение. Скажем, 2/3. Что изменится, если вы умножите числитель и знаменатель на 3? Получится 6/9. А если на миллион? 2000000/3000000. Но постойте, ведь число качественно совершенно не меняется - 2/3 остаются равны 2000000/3000000. Меняется только форма, но не содержание. То же самое произойдёт при делении обеих частей на одно и то же значение. В этом и заключается основное свойство дроби, которое неоднократно поможет вам производить действия с десятичными и обыкновенными дробями на контрольных и экзаменах.
Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число называется расширением дроби, а деление - сокращением. Надо сказать, что зачеркивание одинаковых чисел в верхней и нижней части при перемножении и делении дробей - удивительно приятная процедура (в рамках урока математики, конечно). Создается впечатление, что ответ уже близок и пример практически решен.
Неправильные дроби
Неправильной дробью называется такая, у которой числитель больше или равен знаменателю. Иными словами, если у неё можно выделить целую часть, она попадает под это определение.
Если такое число (большее либо равное единице) представлено в виде обыкновенной дроби, она будет называться неправильной. А если числитель меньше знаменателя - правильной. Оба вида одинаково удобны при осуществлении возможных действий с обыкновенными дробями. Их можно беспрепятственно умножать и делить, складывать и вычитать.
Если же одновременно выделена целая часть и при этом имеется остаток в виде дроби, полученное число будет называться смешанным. В будущем вы столкнетесь с различными способами комбинации таких структур с переменными, а также решением уравнений, где потребуются эти знания.
Арифметические операции
Если с основным свойством дроби всё ясно, то как вести себя при перемножении дробей? Действия с обыкновенными дробями в 5 классе подразумевают все виды арифметических операций, которые выполняются двумя различными способами.
Умножение и деление выполняются очень просто. В первом случае просто перемножаются числители и знаменатели двух дробей. Во втором - то же самое, только крест-накрест. Таким образом, числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, и наоборот.
Для выполнения сложения и вычитания нужно произвести дополнительное действие - привести все компоненты выражения к общему знаменателю. Это значит, что нижние части дробей должны быть изменены до одинакового значения - числа, кратного обоим имеющимся знаменателям. Например, для 2 и 5 это будет 10. Для 3 и 6 - 6. Но что тогда делать с верхней частью? Мы же не можем оставить её в прежнем виде, если изменили нижнюю. Согласно основному свойству дроби мы умножим числитель на то же число, что и знаменатель. Эта операция должна быть произведена с каждым из чисел, которые мы будем складывать или вычитать. Впрочем, такие действия с обыкновенными дробями в 6 классе выполняются уже «на автомате», а трудности возникают только на начальном этапе изучения темы.
Сравнение
Если у двух дробей одинаковый знаменатель, то больше будет та из них, числитель которой больше. Если же одинаковы верхние части, то больше будет та, у которой меньше знаменатель. Стоит иметь в виду, что столь удачные ситуации для сравнения выпадают нечасто. Скорее всего, и верхние, и нижние части выражений совпадать не будут. Тогда понадобится вспомнить про возможные действия с обыкновенными дробями и использовать приём, применяемый при сложении и вычитании. Кроме того, помните, что если мы говорим об отрицательных числах, то большая по модулю дробь окажется меньшей.
Преимущества обыкновенных дробей
Случается, что преподаватели говорят детям одну фразу, содержание которой можно выразить так: чем больше информации дано при формулировке задания, тем проще будет решение. Кажется, что звучит странно? Но действительно: при большом количестве известных величин можно пользоваться практически любыми формулами, а вот если предоставлена лишь пара чисел, могут потребоваться дополнительные размышления, придётся вспоминать и доказывать теоремы, приводить аргументы в пользу своей правоты…
К чему мы это? Да к тому, что обыкновенные дроби при всей своей громоздкости могут сильно упростить жизнь ученику, позволяя при перемножении и делении сокращать целые строки значений, а при расчёте суммы и разности выносить общие аргументы и, опять же, сокращать их.
Когда требуется осуществить совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, трансформации осуществляются в пользу первых: как вы переведете 3/17 в десятичный вид? Только с потерями информации, не иначе. А вот 0,1 можно представить как 1/10, а далее - как 17/170. И тогда два получившихся числа можно складывать или вычитать: 30/170 + 17/170 = 47/170.
Чем полезны десятичные дроби
Если действия с обыкновенными дробями осуществлять и сподручнее, то записывать все с их помощью крайне неудобно, десятичные здесь имеют существенное преимущество. Сравните: 1748/10000 и 0,1748. Это одно и то же значение, представленное в двух различных вариантах. Разумеется, второй способ проще!
Кроме того, десятичные дроби проще представить, поскольку все данные имеют общее основание, различающееся исключительно на порядки. Скажем, скидку в 30% мы легко осознаем и даже оценим как значительную. А сразу ли вы поймете, что больше - 30% или 137/379? Таким образом, десятичные дроби обеспечивают стандартизацию расчётов.
В старших классах ученики решают квадратные уравнения. Выполнять действия с обыкновенными дробями здесь уже крайне проблематично, поскольку формула для расчёта значений переменной содержит квадратный корень из суммы. При наличии дроби, не сводимой к десятичной, решение усложняется настолько, что рассчитать точный ответ без калькулятора становится практически невозможно.
Итак, каждый способ представления дробей имеет свои преимущества в соответствующем контексте.
Формы записи
Существует два способа записи действий с обыкновенными дробями: через горизонтальную черту, в два «яруса», и через наклонную черту (она же - «слэш») - в строку. Когда ученик пишет в тетради, первый вариант обычно удобнее, а потому и более распространен. Распределение рядом цифр по клеточкам способствует развитию внимательности при расчётах и проведении преобразований. При записи в строку можно по невнимательности перепутать порядок действий, потерять какие-либо данные - то есть, ошибиться.
Достаточно часто в наше время возникает необходимость напечатать числа на компьютере. Разделять дроби традиционной горизонтальной чертой можно, используя функцию в программе «Майкрософт Ворд» 2010 и более позднего года выпуска. Дело в том, что в этих версиях софта есть опция под названием «формула». Она выводит на экран прямоугольное трансформируемое поле, в рамках которого можно комбинировать любые математические символы, составлять и двух-, и «четырехэтажные» дроби. В знаменателе и числителе можно пользоваться скобками, знаками операций. В результате вы сможете записать любые совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями в традиционной форме, т. е. так, как это учат делать в школе.
Если же вы будете пользоваться стандартным текстовым редактором «Блокнот», то все дробные выражения нужно будет писать через наклонную черту. Другого способа здесь, к сожалению, не предусмотрено.
Заключение
Вот мы и рассмотрели все основные действия с обыкновенными дробями, которых, оказывается, не так уж и много.
Если поначалу может казаться, что это сложный раздел математики, то это только временное впечатление - помните, когда-то вы так думали про таблицу умножения, а ещё раньше - про обычные прописи и счёт от одного до десяти.
Важно понимать, что дроби используются в повседневной жизни повсюду. Вы будете иметь дело с деньгами и инженерными расчётами, информационными технологиями и музыкальной грамотой, и везде - везде! - дробные числа будут фигурировать. Поэтому не поленитесь и изучите эту тему хорошенько - тем более не такая уж она и сложная.
Эта статья представляет собой общий взгляд на действия с дробями. Здесь мы сформулируем и обоснуем правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень дробей общего вида A/B , где A и B некоторые числа, числовые выражения или выражения с переменными. По обыкновению материал будем снабжать поясняющими примерами с детальными описаниями решений.
Навигация по странице.
Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
Давайте договоримся под числовыми дробями общего вида понимать дроби, в которых числитель и/или знаменатель могут быть представлены не только натуральными числами, но и другими числами или числовыми выражениями. Для наглядности приведем несколько примеров таких дробей: , 
.
Нам известны правила, по которым выполняются . По этим же правилам можно выполнять действия с дробями общего вида:
Обоснование правил
Для обоснования справедливости правил выполнения действий с числовыми дробями общего вида можно отталкиваться от следующих моментов:
- дробная черта - это по сути знак деления,
- деление на некоторое отличное от нуля число можно рассматривать как умножение на число, обратное делителю (этим сразу объясняется правило деления дробей),
- свойств действий с действительными числами ,
- и его обобщенном понимании ,
Они позволяют провести следующие преобразования, обосновывающие правила сложения, вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также правило умножения дробей:
Примеры
Приведем примеры выполнения действия с дробями общего вида по разученным в предыдущем пункте правилам. Сразу скажем, что обычно после проведения действий с дробями полученная дробь требует упрощения, причем процесс упрощения дроби часто сложнее, чем выполнение предшествующих действий. Мы не будем подробно останавливаться на упрощении дробей (соответствующие преобразования разобраны в статье преобразование дробей), чтобы не отвлекаться от интересующей нас темы.
Начнем с примеров сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Для начала сложим дроби и . Очевидно, знаменатели равны. Согласно соответствующему правилу записываем дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель оставляем прежним, имеем . Сложение выполнено, остается упростить полученную дробь: 
. Итак, 
.
Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем 
.
Теперь вычтем из дроби 
дробь 
. Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Переходим к примерам сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Здесь главная сложность заключается в приведении дробей к общему знаменателю. Для дробей общего вида это довольно обширная тема, ее мы разберем детально в отдельной статье приведение дробей к общему знаменателю . Сейчас же ограничимся парой общих рекомендаций, так как в данный момент нас больше интересует техника выполнения действий с дробями.
Вообще, процесс схож с приведением к общему знаменателю обыкновенных дробей. То есть, знаменатели представляются в виде произведений, дальше берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей не имеют общих множителей, то в качестве общего знаменателя логично взять их произведение. Приведем пример.
Допустим, нам нужно выполнить сложение дробей и 1/2
. Здесь в качестве общего знаменателя логично взять произведение знаменателей исходных дробей, то есть, . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби будет 2
. После умножения на него числителя и знаменателя дробь примет вид . А для второй дроби дополнительным множителем является выражение . С его помощью дробь 1/2
приводится к виду . Остается сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Вот краткая запись всего решения:
В случае дробей общего вида речь уже не идет о наименьшем общем знаменателе, к которому обычно приводятся обыкновенные дроби. Хотя в этом вопросе все же желательно стремиться к некоторому минимализму. Этим мы хотим сказать, что не стоит в качестве общего знаменателя сразу брать произведение знаменателей исходных дробей. Например, совсем не обязательно брать общим знаменателем дробей и произведение 
. Здесь в качестве общего знаменателя можно взять .
Переходим к примерам умножения дробей общего вида. Умножим дроби и . Правило выполнения этого действия нам предписывает записать дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Имеем 
. Здесь, как и во многих других случаях при умножении дробей, можно сократить дробь: 
.
Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: 
. Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):
Завершая информацию этого пункта, напомним, что любое число или числовое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1
, поэтому, сложение, вычитание, умножение и деление числа и дроби можно рассматривать как выполнение соответствующего действия с дробями, одна из которых имеет единицу в знаменателе. Например, заменив в выражении 
корень из трех дробью , мы от умножения дроби на число перейдем к умножению двух дробей: 
.
Выполнение действий с дробями, содержащими переменные
Правила из первой части текущей статьи применяются и для выполнения действий с дробями, которые содержат переменные. Обоснуем первое из них – правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, остальные доказываются абсолютно аналогично.
Докажем, что для любых выражений A
, C
и D
(D
тождественно не равно нулю) имеет место равенство 
на его области допустимых значений переменных.
Возьмем некоторый набор переменных из ОДЗ. Пусть при этих значениях переменных выражения A
, C
и D
принимают значения a 0
, c 0
и d 0
. Тогда подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в сумму (разность) числовых дробей с одинаковыми знаменателями вида , которая по правилу сложения (вычитания) числовых дробей с одинаковыми знаменателями равна . Но подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в ту же дробь . Это означает, что для выбранного набора значений переменных из ОДЗ значения выражений и равны. Понятно, что значения указанных выражений будут равны и для любого другого набора значений переменных из ОДЗ, а это означает, что выражения и тождественно равны, то есть, справедливо доказываемое равенство .
Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей одинаковые, то все довольно просто – складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается прежним. Понятно, что полученная после этого дробь при надобности и возможности упрощается.
Заметим, что иногда знаменатели дробей отличаются лишь с первого взгляда, но по факту являются тождественно равными выражениями, как например, 
и , или и . А иногда достаточно упростить исходные дроби, чтобы «проявились» их одинаковые знаменатели.
Пример.
, б) 
, в) 
.
Решение.
а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем 
. Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые : 
.
б) Очевидно, знаменатели складываемых дробей одинаковые. Поэтому, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: . Сложение выполнено. Но несложно заметить, что полученную дробь можно сократить. Действительно, числитель полученной дроби можно свернуть по формуле квадрат суммы как (lgx+2) 2
(смотрите формулы сокращенного умножения), таким образом, имеют место следующие преобразования: 
.
в) Дроби в сумме имеют разные знаменатели. Но, преобразовав одну из дробей, можно перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Покажем два варианта решения.
Первый способ. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разность квадратов, после чего сократить эту дробь: 
. Таким образом, . Еще не помешает освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 
.
Второй способ. Умножение числителя и знаменателя второй дроби на (это выражение не обращается в нуль ни при каких значениях переменной x
из ОДЗ для исходного выражения) позволяет достичь сразу двух целей: освободиться от иррациональности и перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Последний пример подвел нас к вопросу приведения дробей к общему знаменателю. Там мы почти случайно пришли к одинаковым знаменателям, упрощая одну из складываемых дробей. Но в большинстве случаев при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приходится целенаправленно приводить дроби к общему знаменателю. Для этого обычно знаменатели дробей представляются в виде произведений, берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Пример.
Выполнить действия с дробями: а) 
, б) , в) 
.
Решение.
а) Здесь нет надобности что-либо делать со знаменателями дробей. В качестве общего знаменателя берем произведение 
. В этом случае дополнительным множителем для первой дроби выступает выражение , а для второй дроби – число 3
. Эти дополнительные множители приводят дроби к общему знаменателю, что в дальнейшем позволяет выполнить нужное нам действие, имеем
б) В этом примере знаменатели уже представлены в виде произведений, и никаких дополнительных преобразований не требуют. Очевидно, множители в знаменателях отличаются лишь показателями степеней, поэтому, в качестве общего знаменателя берем произведение множителей с наибольшими показателями, то есть, 
. Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет x 4
, а для второй – ln(x+1)
. Теперь мы готовы выполнить вычитание дробей:
в) А в данном случае для начала поработаем со знаменателями дробей. Формулы разность квадратов и квадрат суммы позволяют от исходной суммы перейти к выражению 
. Теперь понятно, что эти дроби можно привести к общему знаменателю 
. При таком подходе решение будет иметь следующий вид:
Ответ:
а)
б)
в)
Примеры умножения дробей с переменными
Умножение дробей дает дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Здесь, как видите, все привычно и просто, и можно лишь добавить, что полученная в результате выполнения этого действия дробь часто оказывается сократимой. В этих случаях ее сокращают, если, конечно, это необходимо и оправданно.
