Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел. Историческая и логическая последовательность изучения числовых мн-ств. Общий принцип расширения числовых мн-ств Положительные рациональные числа

⁰

Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности : натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные чисел и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический путь развития понятия числа в математике:N Q + Q R (историческая схема развития понятия числа ). В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность: N Z Q R (логическая схема развития понятия числа ). От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа. Приверженность школьного курса исторической схеме объясняется тем, что понятие дроби доступнее, чем понятие отрицательного числа.

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - это добавление нуля. Сначала 0 – знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль? Разделить – значит найти . Два случая: 1) , следовательно, надо найти . Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти . Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

необходимость новых чисел;
введение новых чисел;
сравнение (геометрическая интерпретация);
действия над числами;
законы.

Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система рациональных чисел – числовое поле.

Поле (П) – множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции – умножение и сложение, обе ассоциативные и коммутативные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого и для каждого противоположного . Существует единичный элемент: . (Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем .) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т.е. определены так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел. Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5–6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:

N , 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N , 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N , 0 Десятичные дроби Отрицательные числа Обыкновенные дроби Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)

N , 0 Целые числа Десятичные дроби (положительные) Обыкновенные дроби (положительные) Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

У П.М. Эрдниева в «Математике 5-6»:

N , 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отрицательных чисел)

в курсе алгебры девятилетней школы

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - это добавление нуля. Сначала 0 - знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль?

Разделить - значит найти

Два случая: 1) , следовательно, надо найти. Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти. Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

· необходимость новых чисел;
· введение новых чисел;
· сравнение (геометрическая интерпретация);
· действия над числами;
· законы.

Поле (П) - множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции - умножение и сложение, обе ассоциативные и коммутативные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого

и для каждого противоположного

Существует единичный элемент:

(Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем .) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т.е. определены так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел.

Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5-6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:

N , 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N , 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

У П.М. Эрдниева в "Математике 5-6":

N , 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отрицательных чисел)

Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы.

В основной школе дроби обычно вводятся методом целесообразных задач (С.И. Шохор-Троцкий), например, при рассмотрении следующей задачи: "1 кг сахарного песка стоит 15 рублей. Сколько стоят 4 кг песка? 5 кг? кг?" Ученики могут умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти от 15. Учащиеся могут разделить на 3 и умножить на 2. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два последовательных действия равнозначны умножению 15 на.

- умножение на целое число;
- умножение целого числа на смешанное число;
- умножение дроби на смешанное число;
- умножение на правильную дробь;
- умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.

Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.

Целесообразность введения отрицательных чисел может быть показана учащимся разными способами:

1. Через анализ ситуации, в которой действие вычитания невыполнимо.

Пример . Чебурашка, спасаясь от Шапокляк, проплыл вверх по реке км, но, оказавшись перед бродом, был вынужден плыть вниз по реке и проплыл км. Где он оказался по отношению к исходному месту входа в реку?

Ответом служит разность, но при действие невозможно.

2. В связи с рассмотрением величин, которые имеют противоположный смысл.
3. Как характеристика изменений (увеличений и уменьшений) величин.
4. На основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси.
5. Через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток.

Пример . Во время сильного дождя уровень воды в реке за сутки поднялся на см, в течение следующих суток уровень воды в реке упал на см. Каким стал уровень воды в реке по истечении двух суток?

6. Как средство изображения расстояний на температурной шкале.

Появление нового числового множества сопровождается введением правил сравнения (равенства и неравенства) чисел и арифметических операций над ними. Средством обоснования правил сравнения нередко служит координатная прямая.

Получив числовое поле, дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т.е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до системы действительных чисел, которая является числовым полем.

К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождения логарифма положительного числа при положительном основании.

В девятилетней школе стараются избежать вопросов, связанных с непрерывностью и бесконечностью, хотя полностью достичь этого нельзя. Не затрагивается вопрос о недостаточности рациональных чисел для решения алгебраических задач, для измерения (каждый отрезок имеет длину, каждая фигура - площадь), построения графиков (должны быть неразрывными). Интуитивные представления учащихся естественны, так как практически нельзя обнаружить существование несоизмеримых отрезков. Не надо строить строгую теорию, достаточно создать верные представления о сущности вопроса. бинарный алгебраический дробный

Если ввести иррациональные числа как неизвлекаемые корни, то у учащихся сформируется представление об иррациональных числах только как о неизвлекаемых корнях, поэтому целесообразно указать школьникам на несоизмеримость отрезков.

Периодичность бесконечной десятичной дроби, выражающей рациональное число, вытекает из деления натуральных чисел, так как при таком делении может получиться только конечное число различных остатков, непревосходящих делителя. Следовательно, при бесконечном делении какой-то остаток должен повториться, а за ним повторятся и соответствующие остатки числа частного - получится периодическая дробь.

В большинстве учебников иррациональное число рассматривается как бесконечная непериодическая десятичная дробь (как и в теории Вейерштрасса). В некоторых учебниках - как длина отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, а затем показывается, как находятся приближения этого числа в виде десятичных дробей.

Далее необходимо установить, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел. Поскольку иррациональные числа вводятся для измерения отрезков, несоизмеримых с единицей длины, то сразу получается, что для каждого отрезка можно найти действительное число, выражающее его отношение к единице длины. Обратное положение есть аксиома непрерывности прямой. В большинстве не формулируется, а подчеркивается это взаимно однозначное соответствие. В некоторых учебниках (Д.К. Фаддеева и др.) используется подход Кантора: для всякой стягивающейся последовательности вложенных друг в друга промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности. Отсюда и следует непрерывность множества действительных чисел.

Можно не доказывать непрерывность множества, но необходимо выяснить различие в структуре множеств рациональных и действительных чисел. Множество рациональных чисел плотно (между любыми двумя рациональными числами существует сколько угодно рациональных чисел), но не непрерывно. Множество разрывов имеет большую мощность. Н.Н. Лузин предложил такое сравнение: если представить, что рациональные точки не пропускают солнечные лучи, и поставить прямую на пути лучей, то нам покажется, что солнце пробивается почти сплошь. У С.И. Туманова: рациональные числа окрашены в черный цвет, а иррациональные - в красный. Тогда прямая представлялась бы сплошь красной.

Из всех теорий иррациональных чисел более доступной считалась теория Кантора - Мере, рассматривающая стягивающиеся последовательности вложенных в друг друга сегментов. Поэтому во многих учебниках результат действий над иррациональными числами рассматривается как число, заключенное между всеми приближенными результатами, взятыми по избытку, и всеми приближенными значениями, взятыми по недостатку. Такое определение не создает у учащихся представления о результате действий над иррациональными числами и вообще об иррациональном числе. В экспериментах В.К. Матушка (контрольная работа среди лучших учеников) школьники считают иррациональные числа неточными, колеблющимися, приближенными. Многие считают, что числа, нельзя сложить. Причина и в неудачной терминологии: "точный" корень, "неточный" корень. Он советует использовать термины "приближенное значение корня" и "точное значение корня".

Действия с иррациональными числами лучше начинать с геометрического изображения суммы. Известно, что можно точно построить отрезки, имеющие такую длину.

Следует обратить внимание учащихся, что в результате действий над иррациональными числами могут получиться как рациональные, так и иррациональные. Для этого нужно предложить примеры на сложение непериодических дробей.

Дальнейшего расширения числовой системы потребовала алгебраическая задача извлечения четной степени (квадратного корня) из отрицательного числа. Поле действительных чисел расширено до системы комплексных чисел присоединением к нему множества мнимых чисел.

Положительные рациональные числа.

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.

Признаки делимости.

Теоретико-множественный смысл разности.

Теоретико-множественный смысл суммы.

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Из истории возникновения понятия натурального числа.

2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.

3. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля.

4. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»

6. Законы сложения.

8. Отношения «больше на» и «меньше на».

9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.

11. Понятие системы счисления.

12. Позиционные и непозиционные системы счисления.

13. Запись и названия чисел в десятичной системе счисления.

14. Сложение в десятичной системе счисления.

15. Умножение в десятичной системе счисления

16. Упорядоченность множества натуральных чисел.

17. Вычитание в десятичной системе счисления.

18. Деление в десятичной системе счисления.

19. Множество целых неотрицательных чисел.

20. Отношение делимости и его свойства.

23. Простые числа. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.

24. Понятие дроби.

27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

28. Действительные числа.

МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ

Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.

Натуральное число мы будем рассматривать в связи с измерений положительных скалярных величин - длин, площадей, масс, времени др., поэтому прежде, чем говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некоторые факты, связанные с величиной и измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики.

В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и пространства), мог научить их правильно изображать геометрические фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Безусловно, нужны знания об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений проходит, в свернутом виде, основные этапы создания геометрической науки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

В освоении этого материала учителю поможет материал данного модуля. В нем с учетом подготовки, полученной студентами в школьном курсе математики, представлен геометрический материал, необходимый для обучения младших школьников элементам геометрии.

Студент должен уметь:

Иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы к определению натурального числа и действий над числами, как результата измерения величин;

Решать элементарные задачи на построение с помощью циркуля и линейки в объеме, определенном содержанием обучения;

Решать несложные задачи на доказательство и вычисление числовых значений геометрических фигур;

Изображать на плоскости призму, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, используя правила проектирования.

Лекция 49. Положительные рациональные числа

1. Рациональные числа. Понятие дроби.

2. Рациональное число как класс эквивалентных дробей.

3. Арифметические действия над рациональными числами. Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел. Законы сложения и умножения.

4. Свойства отношения «меньше» на множестве рациональных чисел.

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена как небольшим объемом курса математики для учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказательств; более подробно будет изложен материал, связанный с рациональными числами.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q+ положительных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R+ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+ до множества R всех действительных чисел.

Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 128). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е , и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом.

I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I

Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е . И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде ∙Е , где Е - длина единичного отрезка е , а символ называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных п-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде ∙ Е, где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n - натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку 128, где показано, что четвертая часть отрезка уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е , которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е , тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью 28/8. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е , тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью 56/16.

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где к - натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = пр .

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение . Две дроби m/n и p/q называются равными, если mq= n p.

Если дроби равны, то пишут m/n = p/q .

Например, 17/3 = 119/21, так как 17∙21 = 119∙3 = 357, а 17/19 23/27, потому что 17∙27 = 459, 19∙23 = 437 и 459 ¹ 437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство

m/n = m/n справедливо для любых натуральных чисел т и п. Равенство дробей симметрично: если = , то = , так как из тq= пр следует, что рп = qт (т, п, р, qÎN ).